Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3x+2}{x+1}，x∈（-1，0]}\\{x，x∈（0，1]}\end{array}\right.$且g（x）=mx+m，若方程g（x）=f（x）在（-1，1]内有且仅有两个不同的根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• B． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• C． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]
• D． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-mx-m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：由g（x）=f（x）-mx-m=0，即f（x）=m（x+1），
分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：
由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（-1，0）的直线，
当h（x）过（1，1）时，m=$\frac{1}{2}$此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤$\frac{1}{2}$，
当h（x）过（0，-2）时，h（0）=-2，解得m=-2，此时两个函数有两个交点，
当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，
此时$\frac{1}{x+1}$，
即m（x+1）²+3（x+1）-1=0，
当m=0时，x═$\frac{2}{3}$，只有1解，
当m≠0，由△=9+4m=0得m=-$\frac{9}{4}$，此时直线和f（x）相切，
∴要使函数有两个零点，
则-$\frac{9}{4}$＜m≤-2或0＜m≤$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．