Question

15．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{DF}=\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}$．
（1）当λ=$\frac{1}{2}$，求|$\overrightarrow{AE}$|；
（2）求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最小值．

Answer 1

分析 以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平行线为y轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{DF}$，
（1）当λ=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），即可求出答案，
（2）根据向量的数量积和基本不等式即可求出答案．

解答 解：以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，
∴A（-1，0），B（1，0），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=（2，0）+λ（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
=（2-$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ），
（1）当λ=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），则|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{\frac{49}{16}+\frac{3}{16}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$
（2）∵$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+$\frac{1}{9λ}$（1，0）=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{9λ}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=$\frac{17}{18}$+$\frac{2}{9λ}$+$\frac{λ}{2}$≥$\frac{17}{18}$+2$\sqrt{\frac{2}{9λ}•\frac{λ}{2}}$=$\frac{17}{18}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{29}{18}$，当且仅当λ=$\frac{2}{3}$时取得最小值．

点评 本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．