Question

4．设$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow e$为平面向量，若$|{\overrightarrow e}|=1$，$\overrightarrow a•\overrightarrow e=1$，$\overrightarrow b•\overrightarrow e=2$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最小值为3，$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．$|{\overrightarrow e}|=1$，不妨设$\overrightarrow{e}$=（1，0），由$\overrightarrow a•\overrightarrow e=1$，$\overrightarrow b•\overrightarrow e=2$，不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow{b}$=（2，n），利用向量的模的计算即可求出$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最小值，再利用数量积运算即可得出$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
∵$|{\overrightarrow e}|=1$，不妨设$\overrightarrow{e}$=（1，0），
∵$\overrightarrow a•\overrightarrow e=1$，$\overrightarrow b•\overrightarrow e=2$，
不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow{b}$=（2，n）．
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（3，m+n），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=9+（m+n）²，
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最小值为3，
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-1，m-n），
∵$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，
∴1+（m-n）²=4，
∴（m+n）²=3+4mn≥0，
∴mn≥-$\frac{3}{4}$，当且仅当m=-n=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2+mn≥2-$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{4}$．
故答案为：3，$\frac{5}{4}$

点评 本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题