Question

如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m³）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．
（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；
（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,导数的概念及应用

分析：（1）设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8-2x）•（3-2x）•x为三次函数，
（2）用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大．

解答： 解：（1）设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，1.5）；
盒子容积为：y=（8-2x）•（3-2x）•x=4x³-22x²+24x，
（2）对y求导，得y′=12x²-44x+24，令y′=0，得12x²-44x+24=0，解得：x=1，x=

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（舍去），
所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜1.5时，y′＜0，函数y单调递减；
所以，当x=1时，函数y取得最大值4；
所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为4cm³．

点评：本题考查了简单的三次函数模型的应用，利用求导法求得三次函数在其定义域上的最值问题，是中档题．