Question

2．经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t（天）的函数，日销售量（单位：件）近似地满足：f （t）=-t+30（1≤t≤20，t∈N*），日销售价格（单位：元）近似地满足：g（t）=$\left\{\begin{array}{l}2t+40，1≤t≤10，t∈N*\\ 15，11≤t≤20，t∈N*\end{array}$
（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；
（2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）通过S=f （t）•g（t）求出函数的解析式．
（2）利用函数的解析式，通过分段函数分别求出函数的最值．

解答 解：（1）由题意知，S=f （t）•g（t）
=$\left\{\begin{array}{l}（2t+40）（-t+30），1≤t≤10，t∈N*\\ 15（-t+30），11≤t≤20，t∈N*\end{array}$   …（4分）
（2）当1≤t≤10，t∈N^*时，
S=（2t+40）（-t+30）=-2 t²+20t+1200=-2 （t-5）²+1250．
因此，当t=5时，S最大值为1250；           …（7分）
当11≤t≤20，t∈N*时，
S=15（-t+30）=-15t+450为减函数，
因此，当t=11时，S最大值为285．           …（9分）
综上，S的最大值为1250．
答：当t=5时，日销售额S最大，最大值为1250元．   …（10分）

点评 本题考查分段函数的解析式的求法，考查函数的最值，考查计算能力．