Question

人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：

幸福感指数	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10]
男居民人数	10	20	220	125	125
女居民人数	10	10	180	175	125

根据表格，解答下面的问题：
（Ⅰ）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；
（Ⅱ）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数

专题：概率与统计

分析：（1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．
（2）由已知条件得到X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，0.3），由此能求出X的分布列和期望．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）频率分布直方图如右图．…（3分）
所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46…（5分）
（2）男居民幸福的概率为：

125+125

500

=0.5．
女居民幸福的概率为：

175+125

500

=0.6，
故一对夫妻都幸福的概率为：
0.5×0.6=0.3…（7分）
因此X的可能取值为0，1，2，3，4，
且X～B（4，0.3）
于是P(X=k)=

C

k 4

×0.3k(1-0.3)4-k(k=0，1，2，3，4)…（9分）
X的分布列为

X	0	1	2	3	4
p	0.2401	0.4116	0.2646	0.0756	0.0081

…（11分）
∴E（X）=np=4×0.3=1.2…（12分）

点评：本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．