Question

9．点P是曲线y=x²上任意一点，则点P到直线y=2x-2的最小距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 作直线y=2x-2的平行线y=2x+m，使此平行线和曲线相切，把y=2x+m代入曲线y=x²，利用△=0可得m 值，再利用两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离．

解答 解：作直线y=2x-2的平行线，使此平行线和曲线相切，则曲线的切线方程为y=2x+m 的形式．
把y=2x+m代入曲线y=x²得   x²-2x-m=0，由△=4+4m=0 得，m=-1．
故曲线的切线方程为y=2x-1，由题意知，这两平行线间的距离即为所求．
这两平行线间的距离为：$\frac{1}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

点评 本题考查两平行线间的距离公式，直线与曲线相切的性质，体现了转化的数学思想．