Question

11．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=$\frac{3x+1}{x+1}$（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

分析 （1）根据生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，可建立函数关系式；
（2）利用换元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．

解答 解：（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q+3）万元，
每万件销售价为$\frac{32Q+3}{Q}×150%+\frac{x}{Q}×50%$，（2分）
∴年销售收入为$（{\frac{32Q+3}{Q}×150%+\frac{x}{Q}×50%}）•Q$=$\frac{3}{2}（32Q+3）+\frac{1}{2}x$，（4分）
∴年利润$W=\frac{3}{2}（32Q+3）+\frac{1}{2}x-（32Q+3）-x$=$\frac{1}{2}（32Q+3-x）=\frac{{-{x^2}+98x+35}}{2（x+1）}（x≥0）$．（6分）
（2）令x+1=t（t≥1），则$W=\frac{{-{{（t-1）}^2}+98（t-1）+35}}{2t}=50-（{\frac{t}{2}+\frac{32}{t}}）$．（8分）
∵t≥1，∴$\frac{t}{2}+\frac{32}{t}≥2\sqrt{\frac{t}{2}•\frac{32}{t}}=8$，即W≤42，（10分）
当且仅当$\frac{t}{2}=\frac{32}{t}$，即t=8时，W有最大值42，此时x=7．
即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．（12分）

点评 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，利用利润=收入-成本，得到年利润的表达式是解答本题的关键．