已知向量$\overrightarrow m=(1.\sqrt{3}sin.\overrightarrow n=$.且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$.函数y=f(x)的图象过点$(\frac{5π}{12}.\frac{{\sqrt{3}}}{2})$．的最小正周期,的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位.得到函数y=g(x)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知向量$\overrightarrow m=（1，\sqrt{3}sin（wx+\frac{π}{6}）），\overrightarrow n=（2coswx，y）（0＜w＜2）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，函数y=f（x）的图象过点$（\frac{5π}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（1）求w的值及函数f（x）的最小正周期；
（2）将y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，已知$g（\frac{α}{2}）=\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$，求$cos（2α-\frac{π}{3}）$的值．

分析（1）由平面向量平行的性质及三角函数恒等变换的应用可求f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由函数y=f（x）的图象过点$（\frac{5π}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，可求ω=$\frac{6k-1}{5}$（k∈Z），结合范围0＜ω＜2，可求ω，利用周期公式即可得解．
（2）利用三角函数的图象变换规律可得g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由g（$\frac{α}{2}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，解得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，利用二倍角公式即可计算得解．

解答（本题满分为12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow m=（1，\sqrt{3}sin（wx+\frac{π}{6}）），\overrightarrow n=（2coswx，y）（0＜w＜2）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
∴y=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）cosωx=3sinωxcosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx=$\frac{3}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…4分
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵函数y=f（x）的图象过点$（\frac{5π}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
∴sin（$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{6}$）=0，
∴$\frac{5π}{6}$ω+$\frac{π}{6}$=kπ，可得：ω=$\frac{6k-1}{5}$（k∈Z），
∵0＜ω＜2，
∴ω=1，…6分
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2}=π$…7分
（2）g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…9分
∴g（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，解得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，…10分
∴cos（2α-$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{7}{9}$…12分