Question

2．已知△ABC中，D为边AC上一点，BC=2$\sqrt{2}$，∠DBC=45°．
（Ⅰ）若CD=2$\sqrt{5}$，求△BCD的面积；
（Ⅱ）若角C为锐角，AB=6$\sqrt{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理求出BD，再根据三角形的面积公式计算即可，
（Ⅱ）根据正弦定理即可求出sin∠BDC=sin（C+45°）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，再由正弦定理可得答案．

解答 解：（Ⅰ）在△BCD中，由余弦定理：CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos45°，
即20=8+BD²-4BD，
解得BD=6，
所以S_△BCD=$\frac{1}{2}$•BD•BC•sin45°=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6
（Ⅱ）由正弦定理可得：$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AB}{sinC}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{sinC}$，
解得sinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
由角C为锐角得cosC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sin∠BDC=sin（C+45°）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠DBC}$=$\frac{BC}{sin∠BDC}$，
即$\frac{CD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$，
解得CD=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．