Question

18．已知函数f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数y=f（x）图象的最小正周期；
（2）根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出f（x）的范围，结合三角函数的图象和性质即可求f（x）的最小值及取得最小值时x的值．

解答 解：f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）$
（1）最小正周期$T=\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}=π$
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]即$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$；
结合三角函数的图象和性质：$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$时，$f（x）min=\sqrt{2}cos\frac{5π}{4}=-1$
由：$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$，解得x=$\frac{π}{2}$．
∴当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为-1，取得最小值时x的值为$\frac{π}{2}$．
故：f（x）的最小正周期为π；x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为-1，取得最小值时x的值为$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．