Question

9．如图，角A为钝角，且sinA=$\frac{3}{5}$，点P、Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点．
（1）若AP=5，PQ=3$\sqrt{5}$，求AQ的长；
（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且cosα=$\frac{12}{13}$，求cos（α+β）和cos（2α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由A为钝角，根据同角三角函数的基本关系，求得cosA，利用余弦定理，AQ²+8AQ-20=0，求得AQ的值；
（2）由三角形的内角和定理求得sin（α+β）=sin（π-A）=sinA=$\frac{3}{5}$，即可求得cos（α+β），cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]，根据两角和的余弦公式即可求得cos（2α+β）的值．

解答 解：（1）角A为钝角，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴cosA＜0，cosA=-$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=-$\frac{4}{5}$，…（1分）
在△APQ中，由余弦定理得：PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQcosA，…（2分）
∴AQ²+8AQ-20=0，…（4分）
解：AQ=2或AQ=-10（舍去负值），
∴AQ=2； …（5分）
（2）由cosα=$\frac{12}{13}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{5}{13}$，
在三角形APQ中，A+α+β=π，
∵sin（α+β）=sin（π-A）=sinA=$\frac{3}{5}$，
cos（α+β）=-cosA=$\frac{4}{5}$，…（6分）
∴cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα，
=$\frac{4}{5}$•$\frac{12}{13}$-$\frac{3}{5}$•$\frac{5}{13}$，
=$\frac{33}{65}$．   …（8分）
∴cos（2α+β）=$\frac{33}{65}$．  …（10分）

点评 本题考查余弦定理的应用，考查两角和差的正余弦公式，同角三角函数的基本关系，三角形内角和定理，考查计算能力，属于中档题．