Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足a_n+S_n=2n（n∈N^*），记b_n=2-a_n．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{b_n}的前n项和B_n；
（2）求b₁（B_n-b₁）+b₂（B_n-b₂）+b_n-1（B_n-b_n-1）（n≥2）的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）a_n+S_n=2n⇒a_n-1+S_n-1=2（n-1）（n≥2）；两式相减后，整理可得2（a_n-2）=（a_n-1-2），又b_n=2-a_n，利用等比数列的定义可证数列{b_n}是等比数列，继而可求数列{b_n}的前n项和B_n；
（2）依题意，可得原式=B_n（b₁+b₂+b₃+…b_n-1）-（b₁²+b₂²+…+b_n-1²），利用等比数列的求和公式即可得到答案．

解答： （1）证明：∵a_n+S_n=2n（n∈N^*），
∴a_n-1+S_n-1=2（n-1）（n≥2）；
上两式相减；
得2a_n-a_n-1=2，
则2（a_n-2）=（a_n-1-2），又b_n=2-a_n．
∴-2b_n=-b_n-1，即

bn

bn-1

=

1

2

（n≥2）；
∴数列{b_n}是等比数列；
又S₁=a₁，得2a₁=2×1=2，∴a₁=1；
∴b₁=2-a₁=1，
∴b_n=（

1

2

）^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和B_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-（

1

2

）^n-1；
（2）∵B_n=2-（

1

2

）^n-1，b_n-1=（

1

2

）^n-2，
∴原式=B_n（b₁+b₂+b₃+…b_n-1）-（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）
=[2-（

1

2

）^n-1][2-（

1

2

）^n-2]-

1-( 1 4 )n-1

1- 1 4

=

8

3

-3×（

1

2

）^n-2-

1

3

×（

1

2

）2^n-3．

点评：本题考查等比关系的确定及数列的求和，求得列{b_n}的通项公式是基础，（2）中原式=B_n（b₁+b₂+b₃+…b_n-1）-（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）是关键，考化归思想与运算能力，属于难题．