Question

设正数数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=

1

4

（a_n+1）²，
（1）求证：a_n=2n-1；
（2）设bn=

1

an•an+1

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=

1

4

（a_n+1）²，当n≥2时，Sn=

1

4

(an-1+1)2，可得a_n=S_n-S_n-1，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于数列{a_n}是正数数列，可得a_n-a_n-1=2．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答： （1）证明：∵S_n=

1

4

（a_n+1）²，∴当n≥2时，Sn=

1

4

(an-1+1)2，
∴a_n=S_n-S_n-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}是正数数列，
∴a_n-a_n-1=2．
当n=1时，a1=S1=

1

4

(a1+1)2，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．