Question

已知：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是A₁B上的点，A₁M=

1

3

A₁B，N是B₁D₁上的点，B₁N=

1

3

B₁D₁，
（I） 求证：直线MN是异面直线A₁B与B₁D₁的公垂线；
（Ⅱ） 求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线MN是异面直线A₁B与B₁D₁的公垂线．
（Ⅱ）由

MN

=（-

1

3

，

1

3

，

1

3

），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），利用向量法能求出直线MN与平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （I）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A₁（1，0，1），B（1，1，0），

A1B

=（0，1，-1），
D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），

B1D1

=（-1，-1，0），
设M（x，y，z），N（a，b，c），

A1M

=（x-1，y，z-1），

B1M

=（a-1，b-1，c-1），
∵M是A₁B上的点，A₁M=

1

3

A₁B，N是B₁D₁上的点，B₁N=

1

3

B₁D₁，
∴（x-1，y，z-1）=（0，

1

3

，-

1

3

），∴M（1，

1

3

，

2

3

），
（a-1，b-1，c-1）=（-

1

3

，-

1

3

，0），∴N（

2

3

，

2

3

，1），
∴

MN

=（-

1

3

，

1

3

，

1

3

），
∴

MN

•

A1B

=0，

MN

•

B1D1

=0，
∴MN⊥A₁B，MN⊥B₁D₁．
又MN∩A₁B=M，MN∩B₁D₁=M，
∴直线MN是异面直线A₁B与B₁D₁的公垂线．
（Ⅱ）解：设直线MN与平面ABCD所成角为θ，
∵

MN

=（-

1

3

，

1

3

，

1

3

），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
∴sinθ=|cos＜

MN

，

n

＞|=|

1 3

1 3

|=

3

3

．
∴直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查异面直线的公垂线的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．