Question

已知函数f（x）=|log₂x-m|log₂x+2log₂x-3（m∈R）．
（1）若m=1，求函数f（x）在区间[

1

4

，4]的值域；
（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设log₂x=t，当x∈[

1

4

，4]时，求出t的取值范围，考查m=1时，f（x）的单调性，求出它的值域即可；
（2）又log₂x=t，考查函数f（x）=g（t）的图象与性质，利用f（x）在（0，+∞）上的单调性，求出m的取值范围．

解答： 解：（1）设log₂x=t，当x∈[

1

4

，4]时，t∈[-2，2]；
当m=1时，f（x）=g（t）=t|t-1|+2t-3
=

t2+t-3，t≥1 -t2+3t-3，t＜1

；
∴g（t）在[1，2]上单调递增，在[-2，1]上也单调递增，
且g（2）=3，g（-2）=-13，
∴f（x）的值域为[-13，3]；
（2）f（x）=g（t）=t|t-m|+2t-3
=

t2+(2-m)t-3，t≥m -t2+(m+2)t-3，t＜m

=

(t- m-2 2 )2-3-( m-2 2 )2，t≥m -(t- m+2 2 )2-3+( m+2 2 )2，t＜m

，
∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴

m-2 2 ≤m m+2 2 ≥m m2+(2-m)m-3≥-m2+(m+2)m-3

，
即

m≥-2 m≤2 2m-3≥2m-3

；
解得m∈[-2，2]．

点评：本题考查了复合函数的图象与性质的应用问题，也考查了分段函数的应用问题，是综合性题目．