Question

已知正三棱锥的底面边长为

2

，各侧面均为直角三角形，则它的外接球体积为（　　）

• A、

  4 3 π

  27

• B、

  2 π

  3

• C、

  3 π

  2

• D、

  4π

  3

Answer 1

考点：球的体积和表面积,球内接多面体

专题：空间位置关系与距离

分析：底面边长为

2

，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接求即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，即可求解体积．

解答： 解：由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为

2

，边长为1．
正方体的体对角线是

1+1+1

=

3

．
故外接球的直径是

3

，半径是

3

2

．
故其体积是

4

3

π(

3

2

)3=

3 π

2

．
故选：C．

点评：本题考查球内接多面体，解题的关键是找到球的直径与其内接多面体的量之间的关系，由此关系求出球的半径进而得到其体积．