Question

已知抛物线的焦点F在x轴上，且经过点Q（2，m），点Q到点F的距离为4．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过M（0，3）作直线交抛物线于A、B，求AB的中点N的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设抛物线的标准方程为y²=2px，p＞0，由已知得2+p=4，由此能求出抛物线的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点N（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入y²=4x，利用点差法有求出AB的中点N的轨迹方程．

解答： 解：（1）∵抛物线的焦点F在x轴上，且经过点Q（2，m），
∴设抛物线的标准方程为y²=2px，p＞0，
∵点Q到点F的距离为4，
∴2+p=4，解得p=2，
∴抛物线的标准方程为y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点N（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入y²=4x，得：

y12=4x1 y22=4x2

，整理，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
即2y（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

2

y

，
又直线AB过N（x，y），M（0，3），∴k=

y-3

x

，
∴

y-3

x

=

2

y

，整理，得y²-3y-2x=0，
当直线AB的斜率不存在时，上式也成立，
∴AB的中点N的轨迹方程为y²-3y-2x=0．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线的弦的中点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要注意点差法的合理运用．