Question

已知函数f（x）=x³-bx²+cx（b，c∈R），其图象记为曲线C．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值-1，求b，c的值；
（Ⅱ）若f（x）有三个不同的零点，分别为x₁，x₂，x₃，且x₃＞x₂＞x₁=0，过点O（x₁，f（x₁））作曲线C的切线，切点为A（x₀，f（x₀））（点A异于点O）．
（i）证明：x₀=

x2+x3

2

（ii）若三个零点均属于区间[0，2），求

f(x0)

x0

的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数极值和导数只记得关系建立条件关系即可求b，c的值；
（Ⅱ）求函数的导数，根据导数的几何意义转化为一元二次方程，以及线性规划的知识进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x²-2bx+c，
若f（x）在x=1处取得极值-1，
则

f′(1)=3-2b+c=0 f(1)=1-b+c=-1

，解得b=1，c=-1；
经检验知此时函数f（x）满足条件．
（Ⅱ）（i）证明：切线斜率k=f′（x₀）=3x₀²-2bx₀+c，
则切线方程为y-f（x₀）=（3x₀²-2bx₀+c）（x-x₀），
化简得y=（3x₀²-2bx₀+c）x-2x₀³+bx₀²，
由于切线过原点，则-2x₀³+bx₀²=0，
解得x₀=

b

2

，
∵若f（x）有三个不同的零点，分别为0，x₂，x₃，
则x₂，x₃是方程x²-bx+c=0的两个不同的根，由韦达定理得x₂+x₃=b，
即x₀=

x2+x3

2

成立．
（ii）由（i）知，x₂，x₃是方程x²-bx+c=0的两个不同的根，
令g（x）=x²-bx+c，由x₂，x₃属于区间[0，2），
知g（x）的图象与x轴在（0，2）内有两个不同的交点，
则

△＞0 0＜ b 2 ＜2 g(0)＞0 g(2)＞0

，即

c＜ b2 4 0＜b＜4 c＞0 4-2b+c＞0

，
上述不等式组对应的点（b，c）形成的平面区域如图阴影部分表示：
又

f(x0)

x0

=

f( b 2 )

b 2

=

4c-b2

4

，
令目标函数z=4c-b²，
则c=

b2

4

+

z

4

，
于是问题转化为求抛物线c=

b2

4

+

z

4

的图象如y轴截距的取值范围，
结合图象，截距分别在曲线段OM，N（2，0）处去上，下界，
则z∈（-4，0），
因此

f(x0)

x0

∈（-1，0）．

点评：本题主要考查函数的零点，导数的几何意义，导数的应用线性规划邓基础知识，考查运算能力和推理论证能力，综合性较强，难度较大．