Question

对于项数为m的有穷数列{a_n}，记b_k=max{a₁，a₂，a₃，…，a_k}（k=1，2，3，…，m），即b_k为a₁，a₂，a₃，…，a_k中的最大值，则称{b_n}是{a_n}的“控制数列”，{b_n}各项中不同数值的个数称为{a_n}的“控制阶数”．
（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a_n}的控制数列{b_n}为1，3，3，5，写出所有的{a_n}；
（Ⅱ）若m=100，a_n=tn²-n，其中t∈(

1

4

，

1

2

)，{b_n}是{a_n}的控制数列，试用t表示（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+（b₃-a₃）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）的值；
（Ⅲ）在1，2，3，4，5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：新定义,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a_n}的控制数列{b_n}为1，3，3，5，可得{a_n}；
（Ⅱ）确定当n≥2时，总有a_n+1＞a_n，n≥3时，总有b_n=a_n．从而只需比较a₁和a₂的大小，即可得出结论．
（Ⅲ）确定首项为1、2、3、4的数列的个数，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）1，3，1，5； 1，3，2，5；1，3，3，5…．（3分）
（Ⅱ）因为an=tn2-n，t∈(

1

4

，

1

2

)
所以

1

2t

∈(1，2)．
所以当n≥2时，总有a_n+1＞a_n．
又a₁=t-1，a₃=9t-3．
所以a₃-a₁=8t-2＞0．
故n≥3时，总有b_n=a_n．
从而只需比较a₁和a₂的大小．
（1）当a₁≤a₂，即t-1≤4t-2，即t∈[

1

3

，

1

2

)时，{a_n}是递增数列，此时b_n=a_n对一切n=1，2，3，…100均成立．
所以（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+（b₃-a₃）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=0．
（2）当a₁＞a₂时，即t-1＞4t-2，即t∈(

1

4

，

1

3

)时，b₁=a₁，b₂=a₁，b_n=a_n（n≥3）．
所以（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+（b₃-a₃）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=0+[（t-1）-（4t-2）]+0+…+0=1-3t．
综上，原式=

1-3t，t∈( 1 4 ， 1 3 ) 0  &，t∈[ 1 3 ， 1 2 )  &.

…．（9分）
（Ⅲ）154．
首项为1的数列有6个；
首项为2的数列有6+2=8个；
首项为3的数列有6+4+2=12个；
首项为4的数列有6+6+6+6=24个；
所以，控制阶数为2的所有数列首项之和6+8×2+12×3+24×4=154．…（13分）

点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题．