Question

13．已知离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线AB：y=k（x+1）交椭圆C于A、B两点，交直线l：x=m于点M，设直线PA、PB、PM的斜率依次为k₁、k₂、k₃，问是否存在实数t，使得k₁+k₂=tk₃？若存在，求出实数t的值以及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式，将P代椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）将直线l代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得k₁+k₂及k₃，假设存在实数t，使得k₁+k₂=tk₃，代入即可求得t和m的值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
b²=a²-c²=c²，将P代椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，则$\frac{1}{2{c}^{2}}+\frac{1}{2{c}^{2}}=1$，解得：c=1，
则a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意可知：k显然存在且不为0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
当x=m时，y=k（m+1），
则k₁=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}+1}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}+1}$，则k₃=$\frac{k（m+1）-\frac{\sqrt{2}}{2}}{m+1}$，
则k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（2k-\frac{\sqrt{2}}{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2k-\sqrt{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{2k×\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+（2k-\frac{\sqrt{2}}{2}）（-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）+2k-\sqrt{2}}{-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+1}$=2k+$\sqrt{2}$，
由k₁+k₂=tk₃，2k+$\sqrt{2}$=t×$\frac{k（m+1）-\frac{\sqrt{2}}{2}}{m+1}$=tk-$\frac{\sqrt{2}t}{2（m+1）}$，则当t=2，m=-2，
∴当直线l：x=-2，存在实数t=2，使得k₁+k₂=tk₃成立．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．