Question

在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0），过点P（1，0）作直线分别交射线OA、OB于点C、D．
（1）当△COP的面积等于△DOP面积时，求直线CD的方程；
（2）当CD的中点在直线x-2y=0上时，求直线CD的方程．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：设直线CD的方程为：y=k（x-1），设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知条件解得

x1= k k-1 y1= k k-1

，

x2= k k+2 y2=- 2k k+2

，
（1）由△COP的面积等于△DOP面积，知y₁=-y₂，由此能求出直线CD的方程．
（2）CD的中点坐标为（

1

2

(

k

k-1

+

k

k+2

)，

1

2

(

k

k-1

-

2k

k+2

)）=（

k2- 1 2 k

(k-1)(k+2)

，

2k- 1 2 k2

(k-1)(k+2)

），由CD的中点在直线x-2y=0上，得

k2- 1 2 k

(k-1)(k+2)

-

4k-k2

(k-1)(k+2)

=0，由此能求出直线CD的方程．

解答： 解：（1）设直线CD的方程为：y=k（x-1），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x-y=0

，得

x1= k k-1 y1= k k-1

，
由

y=k(x-1) y=-2x

，得

x2= k k+2 y2=- 2k k+2

，
∵△COP的面积等于△DOP面积，
∴y₁=-y₂，即

k

k-1

=

2k

k+2

，
解得k=4或k=0（舍），
∴直线CD的方程为：y=4（x-1），即4x-y-4=0．
（2）设直线CD的方程为：y=k（x-1），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x-y=0

，得

x1= k k-1 y1= k k-1

，
由

y=k(x-1) y=-2x

，得

x2= k k+2 y2=- 2k k+2

，
∴CD的中点坐标为（

1

2

(

k

k-1

+

k

k+2

)，

1

2

(

k

k-1

-

2k

k+2

)）=（

k2- 1 2 k

(k-1)(k+2)

，

2k- 1 2 k2

(k-1)(k+2)

），
∵CD的中点在直线x-2y=0上，
∴

k2- 1 2 k

(k-1)(k+2)

-

4k-k2

(k-1)(k+2)

=0，
解得k=18或k=0（舍），
∴直线CD的方程为y=18（x-1），即18x-y-18=0．

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题时，解题时要认真[是题，注意中点坐标公式的合理运用．