题目内容
为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少为染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值y（单位：万元）与投入改造资金x（单位：万元）之间的关系满足：①y与（60-x）x2成正比例；②当x=30时，y=90；③改造资金x满足不等式0≤
≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并求出其定义域；
（Ⅱ）求投入改造资金x取何值时，产品附加值y达到最大？
| x |
| 2(60-x) |
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并求出其定义域；
（Ⅱ）求投入改造资金x取何值时，产品附加值y达到最大？
考点：函数最值的应用,函数的定义域及其求法,函数解析式的求解及常用方法
专题：应用题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）根据y与（60-x）x2成正比例，建立关系式，再根据②求出比例系数，得到函数f（x）的表达式，再求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．
（Ⅱ）本题为含参数的三次函数在特定区间上求最值，利用导数研究函数在给定区间上的单调性即可求出最大值，注意分类讨论．
（Ⅱ）本题为含参数的三次函数在特定区间上求最值，利用导数研究函数在给定区间上的单调性即可求出最大值，注意分类讨论．
解答：
解：（Ⅰ）设y=k（60-x）x2，则
由②可得k=
，∴y=
（60-x）x2．
∵0≤
≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]，
∴x∈[0，
]，其中t为常数，且t∈[0，3]；
（Ⅱ）f′（x）=
x（120-3x），令f′（x）=0，可得x=0或40，
≥40，即1≤t≤3时，x∈（0，40），f′（x）＞0，x∈（40，
），f′（x）＜0，
∴x=40时，ymax=
；
＜40，即0≤t＜1时，x∈（0，
），f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x=
时，ymax=
．
由②可得k=
| 1 |
| 300 |
| 1 |
| 300 |
∵0≤
| x |
| 2(60-x) |
∴x∈[0，
| 120t |
| 1+2t |
（Ⅱ）f′（x）=
| 1 |
| 300 |
| 120t |
| 1+2t |
| 120t |
| 1+2t |
∴x=40时，ymax=
| 320 |
| 3 |
| 120t |
| 1+2t |
| 120t |
| 1+2t |
∴x=
| 120t |
| 1+2t |
| 2880t2 |
| (1+2t)3 |
点评：本题考查函数的应用问题，函数的解析式、利用导数研究三次函数的最值及分类讨论思想，属于中档题．
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