Question

19．某工厂生产产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系为：$p（t）={p_0}{e^{-kt}}$（式中的e为自然对数的底，p₀为污染物的初始含量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量减少了$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）求函数关系式p（t）；
（Ⅱ）要使污染物的含量不超过初始值的$\frac{1}{1000}$，至少还需过滤几小时？（lg2≈0.3）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题设，求得e^-k，即可得到所求；
（Ⅱ）由 $p（t）={p_0}{（\frac{4}{5}）^t}≤\frac{1}{1000}{p_0}$，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据题设，得$\frac{4}{5}{p_0}={p_0}{e^{-k}}$，∴${e^{-k}}=\frac{4}{5}$，-------------------------（2分）
所以，$p（t）={p_0}{（\frac{4}{5}）^t}$-------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）由 $p（t）={p_0}{（\frac{4}{5}）^t}≤\frac{1}{1000}{p_0}$，得${（\frac{4}{5}）^t}≤{10^{-3}}$，-------------（6分）
两边取10为底对数，并整理，得t（1-3lg2）≥3，∴t≥30---------------------------------------------11分
因此，至少还需过滤30小时---------------------------------------（12分）

点评 本题考查函数在实际问题中的应用，考查运算能力，属于中档题．