Question

15．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=A₁C，D，E，F分别为AB，A₁C₁，AA₁的中点，平面AA₁C₁C⊥平面ABC．G，H分别在AD，AC上，且AD=4AG，GH∥CD．求证：
（1）AB⊥CE；
（2）平面FGH∥平面CDE．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点P，连接A₁P．推导出A₁P⊥平面ABC，从而A₁P⊥AB，由此能证明AB⊥CE．
（2）推导出GH∥平面CDE，FH∥平面CDE，由此能证明平面FGH∥平面CDE．

解答 （本小题满分15分）
证明：（1）取AC的中点P，连接A₁P．
∵AA₁=A₁C，∴A₁P⊥AC．   …（2分）
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABC，平面AA₁C₁C∩平面ABC=AC，A₁P?平面AA₁C₁C，
∴A₁P⊥平面ABC．…（4分）
∵AB?平面ABC，∴A₁P⊥AB． …（6分）
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、P分别为A₁C₁，AC的中点，
∴A₁E∥CP，且A₁E=CP=$\frac{AC}{2}$，∴四边形A₁ECP是平行四边形，∴A₁P∥CE．
又∵A₁P⊥AB，∴AB⊥CE．…（8分）
（2）∵GH∥CD，CD?平面CDE，GH?平面CDE，∴GH∥平面CDE．…（10分）
∵AD=4，AG、GH∥CD，∴AH=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{1}{2}AP$．
又∵F为AA₁的中点，∴FH∥A₁P．
∵A₁P∥CE，∴FH∥CE．
又∵CE?平面CDE，FH?平面CDE，
∴FH∥平面CDE．…（13分）
∵GH?平面FGH，FH?平面FGH，GH∩FH=H，且GH∥平面CDE，FH∥平面CDE，
∴平面FGH∥平面CDE． …（15分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．