Question

11．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值0，求常数a，b的值．并求函数的单调减区间．

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出函数的递减区间即可．

解答 解：∵f（x）在x=-1时有极值0，
且f′（x）=3x²+6ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=0}\\{f（-1）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b{+a}^{2}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$；
当a=1，b=3时，f′（x）=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，
∴f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去，
∴a=2，b=9；
当a=2，b=9时，
f′（x）=3x²+12x+9=3（x+1）（x+3），
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜-1，
故当x∈（-3，-1）时，f（x）为减函数．

点评 不同考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．