Question

9．如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就称[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分．已知数列{a_n}满足a₁=$\sqrt{5}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$，则a₂₀₁₇等于（　　）

Answer 1

分析 由已知求出数列的前四项，从而猜想a_n=4（n-1）+$\sqrt{5}$，由此能求出结果．

解答 解：∵${a}_{1}=\sqrt{5}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$，
∴a₂=2+$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$=4+$\sqrt{5}$，
${a}_{3}=6+\frac{1}{\sqrt{5}-2}$=8+$\sqrt{5}$，

a₄=10+$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$=12+$\sqrt{5}$，
${a}_{5}=14+\frac{1}{\sqrt{5}-2}$=16+$\sqrt{5}$，
…
∴a_n=4（n-1）+$\sqrt{5}$，
∴a₂₀₁₇=4×2016+$\sqrt{5}$=8064+$\sqrt{5}$．

点评 解决该试题的关键是对于两个数列通项公式的分析和求解，然后能合理的选用求公式来得到结论．