Question

5．动点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥1}\\{x+2y≤5}\\{x+y≥3}\end{array}\right.$，点Q为（1，-1），O为原点，λ|$\overrightarrow{OQ}$|=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$，则λ的最大值是（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据向量的数量积公式将条件进行化简，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：：∵λ|$\overrightarrow{OQ}$|=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=$|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OQ}|cos＜\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OQ}＞$，
∴λ=|$\overrightarrow{OP}$|cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OQ}$＞，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则OQ，OA的夹角最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+2y=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（3，1），
则$\overrightarrow{OA}$=（3，1），
又$\overrightarrow{OQ}=（1，-1）$，
则cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OQ}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OQ}|}$=$\frac{3×1+1×（-1）}{\sqrt{10}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴λ的最大值是|$\overrightarrow{OP}$|cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OQ}$＞=$\sqrt{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合向量数量积的应用，利用数形结合是解决本题的关键．是中档题．