Question

14．已知寒素f（x）=3x²-2mx-1（m∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，2）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最小值为g（m），求g（m）的表达式；
（3）已知h（x）为奇函数，当x≥0时，h（x）=f（x）+2mx+1，若h（2x-3）≤h（x+cosθ）对θ∈R恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在（1，2）上单调可知$\frac{m}{3}$≤1或$\frac{m}{3}$≥2，解出m的范围；
（2）根据对称轴与区间[0，1]的关系分三种情况讨论f（x）在[0，1]上的单调性，求出f（x）的最小值；
（3）求出h（x）的解析式并判断好h（x）的单调性，利用单调性得出2x-3与x+cosθ的大小关系，解不等式得出x的范围．

解答 解：（1）f（x）的对称轴为x=$\frac{m}{3}$，
∵函数f（x）在区间（1，2）上是单调函数，∴$\frac{m}{3}$≤1或$\frac{m}{3}$≥2，解得m≤3或m≥6．
∴m的取值范围是（-∞，3]∪[6，+∞）．
（2）①若$\frac{m}{3}$≤0，即m≤0时，f（x）在[0，1]上是增函数，∴g（m）=f（0）=-1．
②若$\frac{m}{3}$≥1，即m≥3时，f（x）在[0，1]上是减函数，∴g（m）=f（1）=2-2m．
③若0＜$\frac{m}{3}$＜1，即0＜m＜3时，f（x）在[0，1]上先减后增，∴g（m）=f（$\frac{m}{3}$）=-$\frac{{m}^{2}}{3}$-1．
综上，g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，m≤0}\\{-\frac{{m}^{2}}{3}-1，0＜m＜3}\\{2-2m，m≥3}\end{array}\right.$．
（3）当x≥0时，h（x）=3x²，
设x＜0，则-x＞0，∴h（-x）=3x²，
∵h（x）为奇函数，∴h（x）=-h（-x）=-3x²，
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}，x≥0}\\{-3{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$．∴h（x）在R上是增函数．
∵h（2x-3）≤h（x+cosθ）对θ∈R恒成立，
∴2x-3≤x+cosθ对θ∈R恒成立．∴x≤3+cosθ对θ∈R恒成立．
∵-1≤cosθ≤1，∴x≤2．
∴实数x的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了二次函数的单调性，最小值以及函数恒成立问题，对对称轴与区间的关系进行讨论是解题关键，属于中档题．