Question

16．已知函数$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1（{x∈R}）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，m-2≤f（x）≤m+2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式与和角公式对f（x）进行化简，结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间；
（2）求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域U，令U⊆[m-2，m+2]列出不等式组解出m的范围..

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$+\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}+kπ$．]，k∈Z．
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值2，当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）取得最小值-1．
∵m-2≤f（x）≤m+2恒成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2≤-1}\\{2≤m+2}\end{array}\right.$，解得0≤m≤1．
∴实数m的取值范围是[0，1]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的单调性，三角函数的值域，属于中档题．