Question

11．已知函数f（x）=|x-a|+|x+1|
（1）若a=2，求函数f（x）的最小值；
（2）如果关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，f（x）=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）-（x+1）|=3，当（x-2）（x+1）≤0时，取等号，由此f（x）的最小值是3．
（2）关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）-（x+1）|=3，
当（x-2）（x+1）≤0，即-1≤x≤2时，取等号，
∴f（x）的最小值是3．
（2）∵f（x）=|x-a|+|x+1|≥|（x-a）-（x+1）|=|a+1|，
当（x-a）（x+1）≤0时取等号，
∴若关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，
只需|a+1|＜2，解得-3＜a＜1，
∴实数a的取值范围是（-3，1）．

点评 本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．