Question

2．如图所示：三角形ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=3，D是BC的中点，
（1）求证：BC⊥平面PDA；
（2）求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥BC，PA⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAD．
（2）推导出AD⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC，PD⊥BC，从而∠PDA即是二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的大小．

解答 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线、角平分线和高线，∴AD⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵BC⊥PA，BC⊥AD，PA∩AD=A，
∴BC⊥平面PAD
解：（2）由（1）知AD⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∵AB=AC，PB²=PA²+AB²，PC²=PA²+AC²，
∴PB=PC，∴△PBC是等腰三角形，
∵D是BC的中点，∴PD是△PBC的中线、角平分线和高线，
∴PD⊥BC，∴∠PDA即是二面角P-BC-A的平面角，
AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，PA=3，
tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，∴∠PDA=60°，
∴二面角P-BC-A的大小为60°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．