Question

20．已知f（x），x∈R是有界函数，即存在M＞0使得|f（x）|≤M恒成立．
（1）F（x）=f（x+1）-f（x）是有界函数，则f（x），x∈R是否是有界函数？说明理由；
（2）判断f₁（x）=$\frac{4x}{{{x^2}-2x+3}}$，f₂（x）=9^x-2•3^x是否是有界函数？
（3）有界函数f（x），x∈R满足f（x+$\frac{1}{4}}$）+f（x+$\frac{1}{3}}$）=f（x）+f（x+$\frac{7}{12}}$），f（x），x∈R是否是周期函数，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件举反例f（x）=x，即可判断，
（2）根据函数的性质求出函数的值域即可，
（3）根据条件进行化简，结合函数周期性的定义进行判断．

解答 解：（1）否，反例：f（x）=x，F（x）=f（x+1）-f（x）=1有界，但f（x）=x无界．
（2）当x=0时，f₁（x）=0，
当x≠0时，f₁（x）=$\frac{4}{x+\frac{3}{x}-2}$，
当x＞0时，x+$\frac{3}{x}$-2≥2$\sqrt{x•\frac{3}{x}}$-2=2$\sqrt{3}$-2，此时f₁（x）∈（0，$\frac{4}{2\sqrt{3}-2}$]，
当x＜0时，x+$\frac{3}{x}$-2≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{3}{-x}}$-2=-2$\sqrt{3}$-2，此时f₁（x）∈[$\frac{4}{-2\sqrt{3}-2}$，0），
综上f₁（x）∈[$\frac{4}{-2\sqrt{3}-2}$，$\frac{4}{2\sqrt{3}-2}$]，有界，
f₂（x）=9^x-2•3^x=（3^x-1）²-1≥-1，则|f₂（x）|≥0，则f₂（x）无界．
（3）$f（{x+\frac{4}{12}}）-f（x）=f（{x+\frac{7}{12}}）-f（{x+\frac{3}{12}}）=f（{x+\frac{16}{12}}）-f（{x+\frac{12}{12}}）$，
∴$f（{x+1}）-f（x）=f（{x+\frac{16}{12}}）-f（{x+\frac{4}{12}}）$，$f（{x+\frac{4}{12}}）-f（{x+\frac{1}{12}}）=f（{x+\frac{8}{12}}）-f（{x+\frac{5}{12}}）=f（{x+\frac{16}{12}}）-f（{x+\frac{13}{12}}）$，
综上$f（{x+1}）-f（x）=f（{x+\frac{13}{12}}）-f（{x+\frac{1}{12}}）$，
∴f（x+1）-f（x）=f（x+2）-f（x+1）
∴f（x+n）=f（x）+n（f（x+1）-f（x）），∵f（x）有界，∴f（x）=f（x+1），是周期函数．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，有界函数的定义转化求函数的取值范围是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．