Question

已知函数f（x）=log_a

2m-x

2+x

（a＞0，且a≠1）为奇函数，且f（1）=-1．
（1）求实数a与m的值；
（2）用定义证明函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f（

1

2x

）+1＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数可得f（0）=0，可得m值，再由f（1）=-1可得a值；
（2）任取x₁，x₂∈（-2，2），且x₁＜x₂，由对数的运算和不等式的放缩法可得作差f（x₁）-f（x₂）＞0，可得结论；
（3）不等式可化为f（

1

2x

）＜f（1），由单调性可得1＜

1

2x

＜2，易解得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=log_am=0，
解得m=1，∴f（x）=log_a

2-x

2+x

，
又f（1）=-1，∴log_a

1

3

=-1，解得a=3；
（2）易得函数f（x）=log₃

2-x

2+x

的定义域为（-2，2），
任取x₁，x₂∈（-2，2），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=log₃

2-x1

2+x1

-log₃

2-x2

2+x2

=log₃

(2-x1)(2+x2)

(2+x1)(2-x2)

＞log₃

(2-x1)(2+x1)

(2+x1)(2-x1)

=log₃1=0，
∴函数f（x）在（-2，2）单调递减；
（3）不等式f（

1

2x

）+1＜0可化为f（

1

2x

）＜-1，
可化为f（

1

2x

）＜f（1），
由（2）知函数f（x）在（-2，2）单调递减，
∴1＜

1

2x

＜2，解得-1＜x＜0，
∴不等式f（

1

2x

）+1＜0的解集为{x|-1＜x＜0}．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及定义法判函数的单调性和单调性的应用，属中档题．