Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=1，当n∈N^*时，a_n+2=a_n+1+a_n．求证：数列{a_n}的第4m+1（m∈N^*）项能被3整除．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法证明即可：（1）当m=1时，a_4m+1=a₅，依题意，可得a₅=3，能被3正除；（2）假设当m=k时，a_4k+1能被3整除，去推证当m=k+1时，a_4（k+1）+1项也能被3整除即可．

解答： 证明：（1）当m=1时，a_4m+1=a₅=a₄+a₃=（a₃+a₂）+（a₂+a₁）=（a₂+a₁）+2a₂+a₁=3a₂+2a₁=3+0=3，
即当m=1时，第4m+1项能被3整除，命题成立；
（2）假设当m=k时，a_4k+1能被3整除，
则当m=k+1时，
a_4（k+1）+1=a_4k+5=a_4k+4+a_4k+3=2a_4k+3+a_4k+2=2（a_4k+2+a_4k+1）+a_4k+2=3a_4k+2+2a_4k+1．
显然，3a_4k+2能被3整除，又由假设知a_4k+1能被3整除，
∴3a_4k+2+2a_4k+1能被3整除．
即当m=k+1时，a_4（k+1）+1也能被3整除．命题也成立．
由（1）和（2）知，对于任意n∈N^*，数列{a_n}中的第4m+1（m∈N^*）项能被3整除．

点评：本题考查数学归纳法，考查数列递推式的转化与分析，突出考查推理论证能力，属于难题．