Question

已知f（θ）=1-2sinθ，g（θ）=3-4cos²θ．记F（θ）=a•f（θ）+b•g（θ）（其中a，b都为常数，且b＞0）．
（1）若a=4，b=1，求F（θ）的最大值及此时的θ值；
（2）若θ∈[0，

π

2

]，求F（θ）的最小值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）a=4，b=1时，由F（θ）=4（sinθ-1）²-1可求得F（θ）的最大值及此时的θ值；
（2）依题意知，F（θ）═4b(sinθ-

a

4b

)2+a-b-

a2

4b

，令sinθ=x∈[0，1]，对对称轴x=

a

4b

分

a

4b

≥1，

a

4b

≤0，

a

4b

∈（0，1）三类讨论，即可求得F（θ）_min．

解答： 解：（1）若a=4，b=1时，F（θ）=4（1-2sinθ）+3-4cos²θ=4（sinθ-1）²-1，
则F（θ）_max=15，此时的θ=2kπ-

π

2

（k∈Z）；
（2）∵F（θ）=a•f（θ）+b•g（θ）
=a（1-2sinθ）+b（3-4cos²θ）
=-2asinθ+a+3b-4b（1-sin²θ）
=4bsin²θ-2asinθ+a-b
=4b(sinθ-

a

4b

)2+a-b-

a2

4b

，
令sinθ=x∈[0，1]，记G（x）=4b(x-

a

4b

)2+a-b-

a2

4b

（0≤x≤1），
  则其对称轴x=

a

4b

，b＞0，
当

a

4b

≥1，x=1，即sinθ=1时，F（θ）值最小，F（θ）_min=7b-a；
当

a

4b

≤0，x=0，即sinθ=0时，F（θ）值最小，F（θ）_min=a+3b；
当

a

4b

∈（0，1）时，x=sinθ=

a

4b

时，F（θ）值最小，F（θ）_min=a-b-

a2

4b

；
综上，当θ∈[0，

π

2

]时，F（θ）_min=

7b-a， a 4b ≥1 a-b- a2 4b ，0＜ a 4b ＜1 a+3b， a 4b≤0

．

点评：本题考查函数的最值，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．