题目内容

（1）求下列函数的导数：①f（x）=ex•（cosx+sinx）；②y=
x+cosx
x+sinx
；
（2）求下列定积分的值：（1）
∫
2
1
（
1
x
+x+ex+cosx）dx；②
a
-a
a2-x2
dx，a＞0．
考点：导数的运算,定积分
专题：导数的综合应用
分析：按照导数和定积分的运算法则解答．
解答： 解：（1）①f′（x）=[ex•（cosx+sinx）]′=ex•（cosx+sinx）+ex•（cosx-sinx）=2ex•cosx；
②y′=（
x+cosx
x+sinx
）′=
(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)
(x+sinx)2
=
sinx-cosx-x(sinx+cosx)-1
(x+sinx)2
；
（2）①
∫
2
1
（
1
x
+x+ex+cosx）dx=（lnx+
1
2
x2+ex+sinx）
|
2
1
=ln2+2+e2+sin2-（ln1+
1
2
+e+sin1）=ln2+
3
2
-e+sin2-sin1；
②
a
-a
a2-x2
dx，a＞0．根据定积分的几何意义，
a
-a
a2-x2
dx，a＞0是由曲线y=
a2-x2
和直线x=-a，x=a围成的封闭图形的面积，所以
a
-a
a2-x2
dx=
π
2
a2，a＞0．
点评：本题考查了导数和定积分的运算，当被积函数的圆函数不是我们熟悉的基本函数时，可以考虑其几何意义求定积分．
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
3
3
，过右焦点F的直线l与C相交于A、B
两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
2
2

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
OP
=
OA
+
OB
成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
已知向量
a
=（sin2x，-
3
2
），
b
=（
1
2
，cos2x）设f（x）=2
a
•
b
．
（1）求f（x）的最大值，并求最大值所对应的自变量；
（2）令g（x）=
2
π
x2-x，对任意x1∈[-
π
2
，
π
2
]，存在x2∈[-
π
2
，
π
2
]时，使λ•g（x1）=f（x2）成立，求实数λ的取值范围．
如图，三棱锥P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2=4，M为棱PC的中点．
（I）求证：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求A点到平面PBC的距离．
已知|
a
|=2，|
b
|=1，（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=9．
（Ⅰ）求
a
与
b
的夹角θ；    
（Ⅱ）求向量
a
在（
a
+
b
）上的投影．
已知函数f（x）=
ax2+2x+1
x
，x∈[2，+∞）
（1）当a=
1
2
时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[2，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
已知△ABC中，AB=
3
，AC=1，∠B=30°．求：
（1）△ABC的面积；  
（2）△ABC的周长．
在△ABC中，若AC=2，∠B=60°，且∠C为钝角，则边长AB的取值范围
 
．
已知
a
=（2，1），
b
=（k，3），若
a
∥
b
 则k=
 
．

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