题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF2B的周长为16，过焦点F1且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为2，则椭圆C的离心率为
 
．
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由题意得|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=16，从而求a，再由过焦点F1且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为2知2
b2
a
=2；从而解得．
解答： 解：∵△AF2B的周长为16，
∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
=4a=16，
解得，a=4；
∵过焦点F1且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为2，
∴2
b2
a
=2；
解得，b2=a=4；
故b=2；
则c=
16-4
=2
3
；
故椭圆C的离心率为e=
2
3
4
=
3
2
；
故答案为：
3
2
．
点评：本题考查了椭圆的方程的应用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的实数x都有f（x）=-f（2-x）成立，如果实数m，n满足不等式组
f(m2-6m-5)+f(8n-n2)≤0
0≤n≤7
，则m+2n的取值范围是
 
．
已知复数z满足z（2+i）=2-i，则z=（　　）
A、
4
5
-i
B、
4
5
-
3
5
i
C、
3
5
-
4
5
i
D、
3
5
+
4
5
i
双曲线C的方程为
x2
4
-y2=1，其渐近线为l1，l2
（1）设P（x0，y0）为双曲线上一点，P到l1，l2距离分别为d1，d2，求证：d1d2为定值
（2）斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，若
OA
•
OB
=
20
3
，求直线l的方程．
设点A（-
3
，0）B（
3
，0）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-
2
3
．
（1）求动点M的轨迹c的方程；
（2）若直线l过点F（1，0）且绕F旋转，l与圆O：x2+y2=5相交于P，Q两点，l与轨迹c相交于R，S两点，若|PQ|∈[4，
19
]，求△F′RS的面积的最大值和最小值（F′为轨迹C左焦点）．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，且过点（
3
，
1
2
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=
34
15
分别交于M、N两点，求线段MN长度的最小值．
已知函数C的离心率为
2
2
，且椭圆C的左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点F1（-1，0），F2（1，0）到一斜率存在的动直线l的距离之距离之积为1，试问直线l是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
函数y=
1+sinx
1-sinx
的值域为
 
．
解方程组：
3x+y-6=0
x2+y2-2y-4=0
．

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