Question

已知函数C的离心率为

2

2

，且椭圆C的左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点F₁（-1，0），F₂（1，0）到一斜率存在的动直线l的距离之距离之积为1，试问直线l是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出抛物线的焦点，即有椭圆的c=1，再由离心率公式，可得c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+p，运用点到直线的距离公式，得到方程，讨论去绝对值，再由直线方程和椭圆方程联立，消去y，运用判别式即可判断．

解答： 解：（Ⅰ）由于抛物线y²=-4x的焦点为（-1，0），
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
易知c=1，又

c

a

=

2

2

，得a=

2

，于是有b=

a2-c2

=1
故椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．                                                  
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+p，即kx-y+p=0，
于是点F₁（-1，0），F₂（1，0）到直线L的距离之积为

|-k+p|

1+k2

•

|k+p|

1+k2

=1，即

|p2-k2|

1+k2

=1，即|p²-k²|=1+k²
若p²-k²=-k²-1，则p²=-1，矛盾，舍去．
若p²-k²=1+k²，则p²=1+2k²，
由

y=kx+p x2+2y2=2

，消去y，可得（1+2k²）x²+4px+2p²-2=0，
所以判别式△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=8（p²-p²）=0，
即直线l与椭圆C相切，一定有唯一的公共点．

点评：本题考查椭圆方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用判别式判断直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．