Question

设点A（-

3

，0）B（

3

，0）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-

2

3

．
（1）求动点M的轨迹c的方程；
（2）若直线l过点F（1，0）且绕F旋转，l与圆O：x²+y²=5相交于P，Q两点，l与轨迹c相交于R，S两点，若|PQ|∈[4，

19

]，求△F′RS的面积的最大值和最小值（F′为轨迹C左焦点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设M（x，y），运用正弦的斜率公式，化简整理，即可得到M的轨迹方程；
（2）设直线l：x=my+1，运用直线和圆相交的弦长公式，求出1≤1+m²≤4，再由直线方程和椭圆方程联立，消去x，得到y的方程，运用韦达定理，求得|y₁-y₂|的最值，再由△F′RS的面积为S=

1

2

×2•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|，即可得到面积的最值．

解答： 解：（1）设M（x，y），则k_AM•k_BM=-

2

3

，
即有

y

x+ 3

•

y

x- 3

=-

2

3

，
化简得，2x²+3y²=6，
即有动点M的轨迹c的方程为

x2

3

+

y2

2

=1（y≠0）；
（2）设直线l：x=my+1，
O直线的距离为d=

|1|

1+m2

，
弦长|PQ|=2

5- 1 1+m2

，由于|PQ|∈[4，

19

]，
解得，1≤1+m²≤4，
联立直线l和椭圆方程，得（3+2m²）y²+4my-4=0，
令R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
则y₁+y₂=

-4m

3+2m2

，y₁y₂=

-4

3+2m2

，
则|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -4m 3+2m2 )2+ 16 3+2m2

=4•

3 1+m2

3+2m2

=4

3

•

1

1 1+m2 +2 1+m2

由于1≤

1+m2

≤2，则|y₁-y₂|≥4

3

•

1

1 2 +4

=

8 3

9

，
|y₁-y₂|≤4

3

•

1

1+2

=

4 3

3

，
当m=0时，取得最大值

4 3

3

，m=±

3

时，取得最小值

8 3

9

．
则△F′RS的面积为S=

1

2

×2•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|，
即有最大面积为

4 3

3

，最小面积为

8 3

9

．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线的斜率公式的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查运用对勾函数的单调性求最值的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．