Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点（

3

，

1

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=

34

15

分别交于M、N两点，求线段MN长度的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点（

3

，

1

2

），可得

c a = 3 2 3 a2 + 1 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a，b即可．
（2）设直线AS的斜率为k＞0，利用k_AS•k_BS=-

b2

a2

，可得kBS=-

1

4k

．直线AS，BS的方程分别为：y=k（x+2），y=-

1

4k

(x-2)．令x=

34

15

，可得M，N．求出|MN|再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点（

3

，

1

2

），
∴

c a = 3 2 3 a2 + 1 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1．
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1．
（2）设直线AS的斜率为k＞0，
∵k_AS•k_BS=-

1

4

，
∴kBS=-

1

4k

．
∴直线AS，BS的方程分别为：
y=k（x+2），y=-

1

4k

(x-2)．
令x=

34

15

，则M(

34

15

，

64k

15

)，N(

34

15

，-

1

15k

)．
∴|MN|=

64k

15

+

1

15k

≥

1

15

×2

64k• 1 k

=

16

15

，当且仅当k=

1

8

时取等号．
∴线段MN长度的最小值为

16

15

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．