Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的实数x都有f（x）=-f（2-x）成立，如果实数m，n满足不等式组

f(m2-6m-5)+f(8n-n2)≤0 0≤n≤7

，则m+2n的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：

分析：由f（x）=-f（2-x）得f（2-x）=-f（x），则f（m²-6m-5）+f（8n-n²）≤0可化为f（m²-6m-5）≤-f（8n-n²）=f（2+n²-8n），根据f（x）在R上单调递增，可得
m²-6m-5＜2+n²-8n，整理得，由此可画出不等式组

f(m2-6m-5)+f(8n-n2)≤0 0≤n≤7

，所表示的点（m，n）对应的区域，根据线性规划的知识可求m+2n的范围．

解答： 解：∵f（x）=-f（2-x）∴f（2-x）=-f（x），
∴f（m²-6m-5）+f（8n-n²）≤0，可化为f（m²-6m-5）≤-f（8n-n²）=f（2+n²-8n），
又f（x）在R上单调递增，
∴m²-6m-5≤2+n²-8n，即（m+n-7）（m-n+1）≤0，
∴不等式组

f(m2-6m-5)+f(8n-n2)≤0 0≤n≤7

即为

(m+n-7)(m-n+1)≤0 0≤n≤7

，
点（m，n）所对应的区域如图阴影部分所示：

令t=m+2n，即n=-

1

2

m+

1

2

t，由图知，当直线n=-

1

2

m+

1

2

t过点（-1，0），（3，4）时可得t的最小值、最大值，
代入，得t_min=-1，t_max=11．
∴m+2n的取值范围是[-1，11]．
故答案为：[-1，11]．

点评：本题考查函数恒成立问题、线性规划问题，考查数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．