题目内容
双曲线C的方程为
-y2=1，其渐近线为l1，l2
（1）设P（x0，y0）为双曲线上一点，P到l1，l2距离分别为d1，d2，求证：d1d2为定值
（2）斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，若
•
=
，求直线l的方程．
| x2 |
| 4 |
（1）设P（x0，y0）为双曲线上一点，P到l1，l2距离分别为d1，d2，求证：d1d2为定值
（2）斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，若
| OA |
| OB |
| 20 |
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）求出渐近线方程，根据点到直线的距离公式进行求解P到l1，l2距离分别为d1，d2，即可证明d1d2为定值
（2）联立直线和双曲线的方程，利用削元法，结合向量数量积的公式进行化简即可．
（2）联立直线和双曲线的方程，利用削元法，结合向量数量积的公式进行化简即可．
解答：
解：（1）双曲线的渐近线方程为x±2y=0，
P（x0，y0）满足
-y2=1，即x02-4y02=4，
则d1d2=
•
=
=
，
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由
，
得3x2+8mx+4（m2+1）=0，
则由判别式△＞0，解得m2＞0，
则
，
则
•
=x1x2+y1y2=x1x+（x1+m）（x2+m）=2x1x2+m（x1+x2）+m2=m2+
=
，
∴m2=4，
解得m=±2，
故直线方程为y=x+2或y=x-2
P（x0，y0）满足
| x2 |
| 4 |
则d1d2=
| |x0-2y0| | ||
|
| |x0+2y0| | ||
|
| |x02-4y02| |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由
|
得3x2+8mx+4（m2+1）=0，
则由判别式△＞0，解得m2＞0，
则
|
则
| OA |
| OB |
| 8 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
∴m2=4，
解得m=±2，
故直线方程为y=x+2或y=x-2
点评：本题主要考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆的位置关系的应用，利用代入消元法转化为一元二次方程是解决本题的关键．
练习册系列答案
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复数z=
的虚部是（ ）
| 1-i |
| i |
| A、1 | B、-1 | C、i | D、-i |
全集U={1，-2，3，-4，5，-6}，M={1，-2，3，-4}，则∁UM（ ）
| A、{1，3} |
| B、{5，-6} |
| C、{1，5} |
| D、{-4，5} |
已知集合A={0，1，3}，B={x|y=ln（x-1）}，则A∩B=（ ）
| A、{0，1，3} | B、{1，3} |
| C、{3} | D、Φ |