Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-3x²+ax（a∈R）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．
（1）求a的值和切线l的方程；
（2）设曲线y=f（x）在任一点处的切线倾斜角为α，求α的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）由已知可得函数的导函数，即切线斜率的函数，因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，所以导函数只有一个实根，进而易得a的值与切线1的方程．
（2）因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，显然切线斜率≥-1从而可以解出θ的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-3x²+ax（a∈R），
∴f′（x）=x²-6x+a．
∵在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，
∴x²-6x+a=-1有且只有一个实数根．
∴△=36-4（a+1）=0，
∴a=8．
∴x=3，f（3）=6．即切点（3，6）．
∴切线l：y-6=-（x-3），即x+y-3=0．
（2）∵f′（x）=x²-6x+8=（x-3）²-1≥-1．
∴tanα≥-1，
∵α∈[0，π），
∴α的取值范围是[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）．

点评：本题主要考查导数的几何意义，同时考查了直线的点斜式方程及直线的倾斜角，是一道综合题，应注意运用导函数求解．