Question

4．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{a_n-4}{3}$，且a₁=2，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=-2．

Answer 1

分析 可设a_n+1-t=$\frac{1}{3}$（a_n-t），解得t=-2，则a_n+1+2=$\frac{1}{3}$（a_n+2），运用等比数列的通项公式，可得数列{a_n}的通项公式，再由数列极限公式，即可得到所求值．

解答 解：a_n+1=$\frac{a_n-4}{3}$，
可设a_n+1-t=$\frac{1}{3}$（a_n-t），
解得t=-2，
则a_n+1+2=$\frac{1}{3}$（a_n+2），
可得a_n+2=（a₁+2）•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
=4•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
即a_n=4•（$\frac{1}{3}$）^n-1-2，
则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$[4•（$\frac{1}{3}$）^n-1-2]
=0-2=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查数列的通项公式的求法和极限的求法，注意运用待定系数法和极限公式，考查化简运算能力，属于中档题．