Question

14．已知△ABC的三个顶点A（m，n）、B（2，1）、C（-2，3）；
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD的方程为2x-3y+6=0，且S_△ABC=7，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）由两点的斜率公式，算出BC的斜率k=-$\frac{1}{2}$，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边所在直线方程；
（2）由两点的距离公式，算出|BC|=2$\sqrt{5}$，结合S_△ABC=7得到点A到BC的距离等于$\frac{7}{\sqrt{5}}$，由此建立关于m、n的方程组，解之即可得到m，n的值．

解答 解：（1）∵B（2，1），C（-2，3），
∴k_BC=$\frac{3-1}{-2-2}$=-$\frac{1}{2}$，
可得直线BC方程为y-3=-$\frac{1}{2}$（x+2）
化简，得BC边所在直线方程为x+2y-4=0；
（2）由题意，得|BC|=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|BC|•h=7，解之得h=$\frac{7}{\sqrt{5}}$，
由点到直线的距离公式，
得 $\frac{|m+2n-4|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{7}{\sqrt{5}}$，
化简得m+2n=11或m+2n=-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=11}\\{2m-3n+6=0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{m+2n=-3}\\{2m-3n+6=0}\end{array}\right.$，
解得m=3，n=4或m=-3，n=0，
故A（3，4）或（-3，0）．

点评 本题给出三角形ABC的顶点BC的坐标，求直线BC的方程并在已知面积的情况下求点A的坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识．