Question

1．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{\;}}$=1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），圆O：x²+y²=b²
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB的面积为$\frac{\sqrt{6}}{4}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆经过的点代入椭圆方程，求出a，b即可求解椭圆方程．
（2）设直线l为y=kx+m（k＜0，m＞0），联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y，设x₁，x₂分别为A、B横坐标，利用韦达定理弦长公式点到直线的距离公式，通过三角形的面积，求解即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）$\left\{\begin{array}{l}\frac{0^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\\ \frac{1^2}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2}\\ b=1\end{array}\right.$，
椭圆方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（4分）

（2）因为切点在第一象限，可设直线l为y=kx+m（k＜0，m＞0），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=kx+m\end{array}\right.$，
得$（1+2{k^2}）{x^2}+4kmx+2{m^2}-2=0⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}\end{array}\right.$（x₁，x₂分别为A、B横坐标）$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1⇒{m^2}=1+{k^2}$…（8分）
AB长：${l_{AB}}=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（\frac{4km}{{1+2{k^2}}}）}^2}-4\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}$
=$\frac{{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}•\sqrt{k^2}$…（10分）
∴$S=\frac{1}{2}{l_{AB}}•d=\frac{1}{2}•1•\frac{{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}•\sqrt{k^2}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}⇒\frac{{（1+{k^2}）•{k^2}}}{{（1+2{k^2}{）^2}}}=\frac{3}{16}$∴$16（1+{k^2}）•{k^2}=3（1+2{k^2}{）^2}⇒（2{k^2}+3）（2{k^2}-1）=0⇒{k^2}=\frac{1}{2}⇒k=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）
∴m=$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，直线l为$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…（14分）

点评 本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．