Question

自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N⁺，且x₁＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
（1）求x_n+1与x_n的关系式；
（2）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用题中的关系求出鱼群的繁殖量，被捕捞量和死亡量就可得到x_n+1与x_n的关系式；
（2）每年年初鱼群的总量保持不变就是x_n恒等于x₁，转化为x_n+1-x_n=0恒成立，再利用（1）的结论，就可找到x₁，a，b，c所满足的条件．

解答： 解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为cx_n²，
因此x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx_n²，n∈N*．（*）
即x_n+1=x_n（a-b+1-cx_n），n∈N*．（**）
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁，n∈N*，
从而由（*）式得x_n（a-b-cx_n）恒等于0，n∈N*，
所以a-b-x₁=0．即x₁=

a-b

c

．
因为x₁＞0，所以a＞b．
猜测：当且仅当a＞b，且x₁=

a-b

c

．每年年初鱼群的总量保持不变．

点评：本题考查数列的递推关系，着重考查化归思想与抽象思维、创新思维，突出归纳法在推理、证明中的应用，属于中档题．