Question

如图，已知点P是正四面体A-BCD的棱AC中点，则直线DP与平面BCD所成角的正弦值为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  7

  3

• C、

  2 2

  3

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：过A做BD的垂线，垂足为F，连接CF，过A做AO⊥BCD故P在平面BCD的投影也在CF上，设为O′，连接O′D，令正四面体的棱长为a，通过解三角形求出即可．

解答： 解：过A做BD的垂线，垂足为F，连接CF，易知CF⊥BD，故平面AFC⊥BCD，
过A做AO⊥BCD，O应为BCD的中心，在CF上，因此AC投影在CF上．
故P在平面BCD的投影也在CF上，设为O′，连接O′D，知O′D⊥PO′，
如图示：
，
因PO′∥AO，故

PO′

AO

=

CP

CA

=

1

2

，
令正四面体的棱长为a
AF=DP=

3 a

2

，FO═

3 a

6

，AO=

6 a

3

，
∴PO′=

6 a

6

，∴sin∠PDO′=

PO′

PD

=

2

3

，
故选：A．

点评：本题考查了直线和平面所成角的问题，考查解三角形问题，正确作出辅助线是解题的关键．