Question

已知定义在R上的函数f（x），f（-x）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）证明f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由函数的奇偶性求函数的解析式的步骤是比较固定的；
（2）定义法证明单调性，注意化简．

解答： 解：（1）由题意，f（0）=0；
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

，
则f（x）=

- 2x 4x+1 ，-1＜x＜0 0，x=0 2x 4x+1 ，0＜x＜1

；
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x12x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴1＜2x1＜2x2，1＜4x1＜4x2，
∴

(2x2-2x1)(2x12x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，1）上是减函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用及函数的单调性的证明，注意化简要细心，属于基础题．